AC Мои данные  Корзина  Оформить заказ  
  Магазин » Каталог Мои данные  |  Корзина  |  Оформить заказ   
Разделы
????? (677)
?????????? (756)
???????????? (495)
???????????? (99)
?????????? (863)
??????-?????? (185)
????????? (753)
?????? (756)
??????????? (366)
???????????? (428)
Статьи
Самая важная статья
Блеск и нищета теоремы Котельникова
Плюсы и минусы наушников
Как выбирать наушники
ОСС ТЗО.Часть первая
ОСС ТЗО.Часть вторая
ОСС ТЗО.Часть третья
Производители
Новинки Перейти
ЦАП с усилителем для наушников DHA-S-003
ЦАП с усилителем для наушников DHA-S-003
14632руб.
Быстрый поиск
 
Введите слово для поиска.
Расширенный поиск
Информация
Доставка и возврат
Безопасность
Условия и гарантии
Свяжитесь с нами
Untitled Document

Блеск и нищета теоремы Котельникова.

Данный текст содержит несколько нецензурных выражений. Вы можете остановиться прямо здесь.

Часть первая. Из жизни.

Начнем с двух маленьких зарисовок из жизни, если в них что-то и преувеличено, то самую малость….

В ВУЗе…. пара по телемеханике (для тех, кто не в курсе – дисциплина такая, занимающаяся не телевизорами, а передачей сигналов на расстояние)

Преподаватель, Иван Иванович Иванов:

– Начинаем наше очередное мучение. Прежде, чем двигаться дальше, давайте проверим, что Вы знаете, – раздает три листочка с рисунком по рядам:

 

– Итак, у Вас есть рисунок с цифровым представлением сигнала в двух масштабах. Чтобы Вы не путались в отсчетах, соседние точки я соединил. Иванов! Нет, Иванов – это я. Петров, что это за сигнал?

– Это график амплитудной модуляции.

– Ответ неверный. Два. Добавлю балл, если посчитаете несущую частоту, модулируемую функцию, глубину модуляции. Ищите листочек…. Кто помнит математику? Какие еще будут мнения? Сидоров!

– Это биения суммы двух частот.

– Математику помнит, но ответ неверный. Два. Добавлю балл, если определите, какие частоты и их амплитуды. Кто еще? Веревочкина, Вы что думаете?

– Если это цифровые отсчеты, то надо воспользоваться теоремой Котельникова, которая говорит, что любой стохастический сигнал, спектр которого выше определенной частоты равен нулю, может быть восстановлен по цифровым отсчетам, взятым через одинаковые промежутки времени, частота следования которых более чем в два раза должна превышать верхнюю частоту в спектре исходного сигнала.

– А что такое «стохастический»? И как восстанавливать?

– Стохастический – значит случайный. Для восстановления нужно каждый отсчет умножить на базис Котельникова, который представляет собой функцию вида синус икс делить на икс, где икс.

– Достаточно, Веревочкина. Молодец. А Вы? Неучи! Смотрите, как девушка материал знает. Цените и берегите ее…. А Вы, Веревочкина, как на такую не женскую специальность попали? По призванию или по незнанию? Физику в школе любили?

– Физику любила, – опустив глаза, ответила Веревочкина.

– Вот блин, уважаю! Можно сказать, кол-л-лега! Пятерку Вы заработали.

– Ну и кто нам восстановит сигнал, пользуясь теоремой Котельникова?... Бывший медалист, настоящий отличник, будущий краснокнижник и педоровик производства, ой! Ну, Вы правильно поняли, давай, Вася. На своем программируемом калькуляторе быстренько. Восстановишь сигнал?

– Иван Иванович,… у меня на калькуляторе только 15 ячеек памяти, а точек больше сотни. Надо ведь сразу все точки обсчитывать, чтобы значения между отсчетами получить…

– Ну-у-у Вася…. Отвечать придется опять Иванову. На представленном графике был синус 22килогерца, оцифрованный с частотой 44100 Герц, т.е. практически близко к частоте Найквиста. Веревочкина, заткните уши…. Ага. В народе говорят: «Дай дураку хуй стеклянный, он и хуй сломает, и руки порежет!» Вася, откройте Веревочкиной уши. Так вот, Теорема Котельникова дает Вам очень мощный инструмент для восстановления сигналов по их отсчетам, а Вы им даже воспользоваться не можете. Как Маяковский говорит:

«Единица – ноль! Единица – вздор!

Один студент, даже самый важный

Не смог восстановить простой высокочастотный синус,

А если вместо синуса будет мат пятиэтажный?»

Вот так-то…. Государство тратит на Вас деньги. Учит. Я Вас учу! Вопросов на лекциях никаких не возникает, и внятных ответов от Вас тоже никаких. Похоже, немногие доживут до следующего семестра…. в качестве студентов…. Кстати, для тех, кто не понял: «единица-ноль-единица-вздор-один» – это Вам Маяковский напоминает, что в следующем семестре мы будем заниматься помехоустойчивым кодированием. Ладно, новая тема. Пишите….

Спустя лет 10…. разговор с одним из немногих, кто пошел работать по специальности….

– Как жизнь, работа?

– Да вот, первый раз развел плату в 4 слоя.

– А что у нас в России такие изготавливают?

– Да сколько хочешь, только деньги плати.

– А зачем в 4 слоя? Материнскую плату для компьютера делаешь?

– Да нет. «Матери» в 6 слоев разводят. Просто схема сложная, а приборчик маленький должен быть.

– Я гляжу, Вы тут приборами упакованы по самое «нехочу». Вон даже осциллограф цифровой…. Кстати, Ваню-Ваню помнишь? Теорему Котельникова? Синус по двум отсчетам восстанавливаешь?

– Да, Ваня-Ваня – веселый мужик. По двум? Больной что ли? Минимум пять надо. Это только чтобы догадаться, что сигнал может быть синусом. Реально – два десятка, ну полтора на период нужно. Тогда и выводы делать можно.

– А как же Х стеклянный, то есть теорема Котельникова?

– Забей. Мы цифровые осциллографы в основном для периодических сигналов используем. На периодическом он и гигагерц тебе покажет хотя АЦП 100 мегагерцовые стоят, дай только «синхру», откуда считать надо, а так, если аналог, да случайный, то на цифровом 100 мегагерцовом больше 5, максимум 9 мегагерц ничего не увидишь, вернее ты увидишь совсем не то, что есть на самом деле. Вон, возьми аналоговый осциллограф на двести мегагерц и смотри чего хочешь до двухсот мегагерц….

Часть вторая. «Даешь натур продукт!»

Итак, что будем делать? Поверим на слово инженеру или проверять будем? Конечно, проверять! Кто же сейчас на слово верит? Поехали. Частота следования отсчетов на каждом из представленных ниже рисунков 44100, как в CD-audio. Частоты сгенерированы в редакторе: 10кГц (4.41 отсчетов на период), 2.9кГц (15.21 отсчет). Еще есть 22кГц (2.0045 отсчетов) выше по тексту, но их Вы уже видели.

Что мы видим на 10кГц? На синус слабо похоже. Сигнал все еще отдаленно напоминает или биение частот или модулированный сигнал… Перепады пиков амплитуд около 2дБ… Но, если мы заранее знаем, что должен получиться синус, то можно увидеть и его.

Теперь спросим у инженера, занимающегося аналоговой техникой уже как лет 30. Какова будет его оценка, если мы предложим ему «наш генератор синуса»?

«Ну, что? Синус. Слегка замодулированный. Нелинейщины мунимум процентов 20%. Как генератор точно не пойдет.»

Теперь предъявим этому же инженеру 2.9 кГц:

– Зае, хороший синус. 5% нелинейщины есть. Смотри сам, на пиках искажения, наверно опять модуляция или схема из режима выходит по-хитрому, так как явных ограничений на пиках нет. Таким генератором я тоже пользоваться не стану.

– А почему пять процентов? Почему пользоваться не станешь?

– Если на экране осциллографа видно отклонение от синуса на глаз, то гарантированно 5% есть. Если мне генератор такой «синус» дает, то как я свои схемы по нему настраивать буду?

Пора переходить к натурным испытаниям. Проверим ЦАП. Может там происходит восстановление сигнала по Котельникову? Для проверки опять же возьмем 22000 Гц синус (но только для того, чтобы видно было «на глаз», без привлечения мат аппарата).

Записываем CD-audio, пускаем получившийся сигнал на DHA-S-002, где стоит ЦАП CS-4391, кстати, неплохой ЦАП, во многих аудио устройствах даже такого нет (особенно в разных DVD-плеерах, где звук не является основной функцией). Сигнал снимаем с помощью EMU-1212M, но уже в формате 192000 Гц * 24бит. Предъявляю рисунок:

Сильно отличается от рисунка в первой части статьи? Как говорится, те же яйца, но вид сбоку (масштаб немного не совпадает с первым рисунком в статье. Не старался я точно масштабы в рисунках сохранять, главное - принцип).

Еще один эксперимент. Может EMU1212M даст лучший результат? Ведь там целый мозг стоит – DSP. Да и ЦАП получше – CS4398 – один из лучших, чем гордится производитель. Только вот вопрос: «А чем снимать?». Да простым советским аналоговым осциллографом и снимем (С1-114/1). Фото экрана осциллографа ниже. Не очень качественно, так как штатива для фотоаппарата под рукой нет, но суть понятна. Опять те же яйца….

На акустические системы такой сигнал подавать не рекомендуется. В худшем случае Вы останетесь без ВЧ динамика, а в лучшем – без фильтра в акустической системе.

Есть такие «товарищи», которые утверждают, что самое важное в ЦАПе – это обвязка. И, в свете этого утверждения, «правильные» АЦП и ЦАП дают «совсем другой» звук, не то, что можно услышать в «дешевых» ЦАПах.

Тоже отвечу. Ни одна обвязка не восстановит Вам сигнал по отсчетам. В понятие обвязки входит питание микросхемы, аналоговая часть после ЦАПа (цифровую часть не берем, об этом в отдельной статье про ЦАПы), а уж с этим в использованном для опытов DHA-S-002 – полный порядок. Ни одного операционного усилителя Вы там не найдете. Извините, отвлекся.

Вывод: Ни один ЦАП не восстанавливает сигнал, пользуясь теоремой Котельникова, а только с ее помощью можно получить исходный аналоговый сигнал. (Несогласные с выводом – читайте часть третью).

Часть третья. Увидим ли блеск?

Раз никто по Котельникову не считает, тогда сами попробуем? Восстановим аналоговый сигнал из цифрового, записанного на CD-audio.

t – текущее время, n – номер отсчета, T – период, через который берутся отсчеты 1/44.1кГц = 22.7мкс.

Формула есть. Теперь необходимо определиться, сколько нужно промежуточных значений между соседними отсчетами. Если инженеру надо 20-15 отсчетов для синуса, то почему слуховой системе меньше? Чем она хуже инженера? А еще, в качестве аргумента, могу отправить Вас к статье о возможностях слуховой системы, где наглядно показано, что предел разрешения слуховой системы находится на уровне 250кГц. Опять же это предел не «двух дырок в голове», а именно слуховой системы, ее «мат. аппарата». Куда деваться? Будем брать 15 отсчетов.

Да, еще раз повторю, мы восстанавливаем музыкальный сигнал, который по природе своей является именно стохастическим (случайным).

Теперь смотрим внимательно на формулу. Для получения любого промежуточного значения нам нужна сумма ряда от -бесконечности до +бесконечности. Что делать? Попробуем снизить количество учитываемых отсчетов в сумме ряда до какого-нибудь конечного числа.

Для этого произведем такую оценку: через какое время пик (максимальное значение) функции станет меньше, чем единица младшего разряда.

(хотя любой математик за такую оценку приговорит Вас к «вышке» – т.е. к высшей математике. Правильно оценивать сумму всего отбрасываемого ряда от выбранного значения до бесконечности. Мы же «по-инженерски»: «порядка где-то около» или «прикинув хрен к носу» – кому как больше нравится. В любом случае, количество отсчетов данной оценки является «оценкой снизу» – т.е. минимальное количество).

Математикам! Попробуйте сделать более «честную» оценку минимального кол-ва отсчетов. Только вопрос есть: как оценивать плотность вероятности цифровых отсчетов? Музыка – процесс случайный. Или не совсем? Вся музыка по замыслу композитора на ноты положена? Добавим Ваши оценки в статью.

Сигнал у нас 16 разрядный (CD-audio). Производим оценку:

Здесь 0<t<T, синус во времени меняется от -1 до +1 (заменяем на 1, что тоже неверно с точки зрения математики, такой ряд будет расходящимся). Разрешая неравенство относительно n, получаем, что надо учитывать, как минимум, 20860 отсчетов. Будем дальше расстраиваться? Формула для восстановления требует от нас брать отсчеты не только назад, но и вперед, значит надо учитывать уже 41720 отсчетов.

Попытаюсь объяснить более подробно. Относительно текущего времени, нам надо использовать для восстановления текущего значения сигнала 20860 прошедших отсчетов и 20860 будущих отсчетов, то есть нам необходимо «окно» с отсчетами вперед и назад относительно текущего времени. Как только мы добираемся до времени t=T, мы отбрасываем последний отсчет из прошедшего времени и добавляем к рассмотрению следующий отсчет из будущего времени. Именно по этой причине текущее время лежит в пределах 0<t<T.

Дальше считаем? Оценим необходимые нам вычислительные мощности. Еще раз смотрим на формулу для восстановления сигнала, и делаем вывод, что для получения значения одного отсчета необходимо выполнить 6 действий. Для получения необходимого количества (15) промежуточных значений в реальном времени необходимо выполнить:

N=15*(6+1(сумма ряда))*41720*44100 = около 193 млрд. операций в секунду.

Сколько Ваш компьютер операций в секунду выполняет? А большая часть вычислений должна производиться как операции с плавающей запятой?

Слукавил? Самую малость. Реально, это оценка сверху. Если использовать таблицу готовых sin(x)/x, вычислений нужно меньше: одно умножение и одно сложение на каждый отсчет из «окна».

N=15*2*41720*44100=55 млрд. операций в секунду

Наверное, алгоритм можно еще оптимизировать. Но остается вопрос: на чем считать будем? Процессор, находящийся внутри Вашего компьютера позволяет выполнять 2-4 млрд. операций в секунду, причем для целочисленных вычислений, а нам нужны вычисления с плавающей запятой, требующих больше одного такта процессора на вычисление одной операции.

А может тогда не брать 15 отсчетов, а взять один? Тогда поделите последнюю цифру на 15, получите около 3.7 млрд. операций с плавающей запятой – все равно очень много.

Если есть желание, то Вы можете «порасстраиваться» сами, посчитав то же самое для 24 битного звука при частоте 192кГц. У меня получилось, что для восстановления одного промежуточного значения надо ни много, ни мало, а 4 000 000 000 000 (4 триллиона операций). Совсем скучно стало?

Часть четвертая. Где свет? В конце тоннеля?

Сначала надо сделать некоторые выводы по предыдущим частям и написать ответы на возможные вопросы.

1. Вспоминая по тексту только Котельникова, я нисколько не хотел умалить заслуги господина Найквиста или господина Шеннона. С другой стороны мы ведь отмечаем день радио, которое специально для россиян изобрел Попов?

2. Возможно, читателю не дает покоя мысль: «Автор взял синус 22кГц, а он для прослушивания музыки и не нужен, значит очередную страшилку написал».

Да. Синус 22кГц взят только для примера. В действительности, речь идет о музыкальных сигналах, которые по природе своей являются случайными переходными процессами. Синус можно восстановить и каким-нибудь интерполятором, а вот с музыкой так не получится. Надо «честно считать», как Котельников «прописал».

3. То, что автор предлагает восстанавливать с помощью теоремы Котельникова, на самом деле «мизер не ловленный». Оно и не слышно и не нужно.

Искажения, вносимые процессом «оцифровки» тем заметнее, чем выше голос инструмента. Вы можете это воспринимать как «медицинский факт», либо, если аргументов, приведенных в статье недостаточно, проверять самостоятельно. Еще аргумент: можете ли Вы в CD-audio записи отличить, скажем, скрипку Гварнери от скрипки Страдивари, понять, в чем красота звучания того или иного инструмента (не обязательно скрипки)? Стоп. Те, кто знает звучание этих инструментов «живьем», в опросе не участвуют: у них в голове есть «образ живого инструмента», кроме того, чем больше опыт общения с живым звуком, тем легче в любой записи (пусть даже MP3) определить инструмент. Итак, оставшиеся? Каким образом Вы будете оценивать звук того или иного инструмента, если Вы его ни разу живьем не слышали? Все скрыпки скрыпят одинаково?

Я утверждаю, что в оцифрованном звуке нет очень многого, из того, что Вы можете получить из аналоговой записи. На аппаратуре соответствующего класса в этом легко убедиться самостоятельно. А в аналоговой записи нет многого, что можно услышать в живом звуке. В этом тоже легко убедиться, купив билеты на концерт классической музыки. (Только места должны быть хорошие.).

4. Теорема Котельникова для нас сейчас как «дураку игрушка стеклянная». Красиво, блестяще, но вычислительных ресурсов для того, чтобы ей воспользоваться не достаточно. В этом и есть её нищета.

5. Формат CD-audio, на мой взгляд, является преждевременным. Нет, он конечно имеет право на существование и в будущем, но примерно в том же качестве, как сейчас MP3 – «сжать звук посильнее, чтобы влезло больше». А чтобы добыть из него информацию, необходимую для прослушивания всего-то надо процессоры в 100 раз быстрее, да ЦАП на мегагерц.

6. Гораздо более простым и изящным выходом является использование более быстродействующих ЦАП-АЦП. И при записи и при воспроизведении. Какие именно и почему, я напишу в другой статье, которая будет называться «Новый цифровой музыкальный формат»

7. Для самых внимательных и просвещенных читателей, которые знают, что на выходе ЦАП стоит фильтр низких частот. Да, там действительно стоит фильтр. Причем такой… внушительный фильтр, порядка четвертого, не меньше (именно такие фильтры рекомендуют ставить производители ЦАПов). А на входе АЦП тоже фильтр. И тот и другой имеют свои недостатки. Даже правильнее сказать: «вносят свои искажения». Тема эта не маленькая, и её также стоит вынести за пределы данной статьи.

Константин Новиков

Частичное или полное цитирование допускается только с письменного разрешения автора и обязательной ссылкой на источник. Пишите avtorNovikov <жучка> bk.ru

Корзина Перейти
Корзина пуста
Лидеры продаж
01.ЦАП с усилителем для наушников DHA-S-003
Отзывы Перейти
ЦАП с усилителем для наушников DHA-S-002
Статейки супер, правда долго читать напрягает - но интересно ..
5 из 5 звёзд!
Языки
Russian
Валюта

Copyright © 2003 osCommerce Powered by osCommerce Перевод - Александр Меновщиков
Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Форум "Классика" - Дискуссии об академической музыке